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数学・物理・英語などを指導して9年目の個人契約の家庭教師です。川口市(旧鳩ヶ谷市)在住です。

点Qが描く軌跡~反転について(名古屋大2007年)

大学受験の数学で、ある点の軌跡を求める問題は頻出です。軌跡は高校では数学Ⅱ「図形と方程式」の分野で習いますが、入試では数学A「平面図形」や数学B「ベクトル」との融合問題も多く、出題されやすいのも分かります。

今回は、軌跡の中でも難関大でよく出る「反転」というテーマを背景にした入試問題を解説します。

「反転」をテーマにした入試問題の解説

20180710_hanten-1

(1)の補足

この問題を、接点AとBの座標を円の接線の公式を使って求め、線分ABの中点Qの座標を出すというように、数学Ⅱ「図形と方程式」の知識だけで解こうとすると、計算がとても煩雑になってしまいます。(画像になくてスミマセン)

そこで、上の画像では下記の手順で解答を記述しています。

  1. 三角形の相似からOP×OQ=1を証明する・・・数学A「平面図形」
  2. 3点が一直線上にある条件OP×OQ=1から点Qの座標を求める・・・数学B「ベクトル」

(2)の補足

\begin{gather*} (1)で点Q( x_{1} ,y_{1}) を点P( x_{0} ,y_{0}) で表すことができたわけです。\\ ここからx_{0} ,y_{0} について解き、x+y=2に代入して、 \end{gather*}

と通常通りに進めるとやはり計算が大変そうです。

そこで、上の解答では、 \begin{gather*} 点Pのx_{0} ,y_{0} を直接点Qのx_{1} ,y_{1} で表す\\ \end{gather*}
ことで、計算量を大幅に減らしています。また、反転の性質から、点Pの座標を(1)を求めるのに点Qの座標を求めた解法を用いています
これで、点Q軌跡の方程式が求まります。

(ここからは下の画像の説明)

最後はいわゆる軌跡の限界についてチェックし、原点が除外されることを確認します。
結局、点Qの軌跡は円(原点を除く)となります。

直線や円を「反転」させると像(軌跡)はどうなるか

20180710_hanten-2

こうした解法は、「反転」というテーマが背景にあることを知らなければ、なかなか思いつけないと思います。
「反転」の説明と例題に関しては、受験数学の神サイトである「受験の月」さんの下の記事が素晴らしすぎます。いつ拝読してもすごい。。。

examist.jp

 私の画像にある「参考」では、名古屋大学の問題を少し一般化して、

点Pが直線や円周上を動くとき点Qの軌跡はどうなるか

について説明しています。直線または円の方程式を \begin{equation*} a\left( x^{2} +y^{2}\right) +bx+cy+d=0 \end{equation*}
という一つの式で表しているのがポイントです。

結論として、点Qの軌跡は(ア)~(エ)の4パターンに分類されます。

  • (ア)点Pが原点を通る直線上を動くとき点Qは元の直線を描く(原点を除く)
  • (イ)点Pが原点を通らない直線上を動くとき点Qは原点を通るを描く(原点を除く)
  • (ウ)点Pが原点を通る円周上を動くとき点Qは原点を通らない直線を描く
  • (エ)点Pが原点を通らない円周上を動くとき点Qは原点を通らないを描く


見にくいですが、2枚めの画像の右上あたりに、今回の名古屋大の問題にあてはめたものを載せています。(イ)の結果に代入し、点Q軌跡の方程式が求まっています。

まとめ

 いかがでしたでしょうか。今回紹介した「反転」は受験数学において、「逆像法」(大学への数学では「逆手流」)というテーマのサブテーマです。有名な1対1でも取り上げられていますので、気になった方はチェックしてみてください。 

1対1対応の演習/数学II 新訂版 (大学への数学 1対1シリーズ)

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