できるだけ小さい自然数をかけたり割ったりしてある数の２乗にする

中３数学で学ぶ展開・因数分解は高校数学への土台となる重要な単元のひとつです。
普通は展開→因数分解の順に学びますが、因数分解の前に素因数分解というものがありますね。
筆算すればいいんでしょ、簡単カンタンと油断していると、学校ワークに突如、「360にきるだけ小さい自然数をかけてある数の２乗にしたい。どんな自然数をかければよいか。」といった問題に出くわします。「何これ、ちょっと意味が分からないよ。」と手が止まってしまった人も多いのではないでしょうか。
今回はこうした問題を２題解説してみました。参考になれば幸いです。

目次

（１）できるだけ小さい自然数をかけてある数の２乗にする

もしこの問題が360ではなく12だったら、小さい順に12×1=12でNG、12×2=24でNG、12×3=36で6の２乗だからOK！

よって、かける数が3である数が6とわかります。このように、当てずっぽうで解いても答えだけなら求まりますし、実際にわかりやすい数で実験してみて問題の意味をつかみ取る、という考え方は大切です。
ただ、今回は360と数が大きいので、360×2=720、360×3=1080と計算していっても厳しそうです。そこで、素因数分解が威力を発揮します。
詳細は上の画像を見てもらうことにして、ここではポイントだけ記します。

• 略解の一行目のように、四角やマルの記号を使って表す
• 四角の中には、各素因数の指数が偶数になるような数を入れる
• 指数法則を逆向きに使う

３つめを補足します。 \begin{equation*} \left( a^{2} bc\right)^{2} =a^{4} b^{2} c^{2} \end{equation*} これは中１で習ったので大丈夫ですね。この問題ではこの式を逆向きに使います。つまり、 \begin{equation*} a^{4} b^{2} c^{2} =\left( a^{2} bc\right)^{2} \end{equation*}を使います。これを使うためには左辺のa,b,cのそれぞれの指数が偶数である必要があります。指数が偶数になるように四角の中に入れる素数を決定します。

（２）できるだけ小さい自然数で割ってある数の２乗にする

基本的な流れは（１）と同じですが、ポイントを記します。

• 略解の一行目は、割り算の記号画像のように左辺をで表す
• 四角の中には、約分したあとに各素因数の指数が偶数になるような素数を入れる
• 7は約分されて1になりこれもOK

まとめ

いかがでしたでしょうか。この問題は素因数分解の威力が分かるいい問題だと思います。
学校のワークで挫折してしまった人もぜひ再チャレンジしてみて下さいね。

サイコロをn回振って「１の目が少なくとも２回出る」かつ「２の目が少なくとも１回出る」確率

確率の問題で、「少なくとも～」と言われたら余事象を考えよ、というのは定石ですよね。
余事象の確率は頻出なので、解法を覚えてしまっている人も多いと思います。ですが、今回の問題は、頭の中だけで処理しようとするとかなり混乱します。そこで、集合やベン図を積極的に活用して解いてみました。略解ですが参考になれば幸いです。

目次

（１）「少なくとも１回」かつ「少なくとも１回」の確率

 こちらは参考書などでよく見かける典型問題ですね。
「少なくとも１回１の目が出る」かつ「少なくとも１回２の目が出る」
が直接求めにくいので、余事象を考えます。

「少なくとも１回１の目が出る」かつ「少なくとも１回２の目が出る」の余事象は、

「１の目が１回も出ない」または「２の目が１回も出ない」です。

「１の目が１回も出ない」は「ｎ回とも２以上の目が出る」ということですから、こちらは簡単に求まります。

「２の目が１回も出ない」は「ｎ回とも２以外の目が出る」ですから同様です。

ここで、「１の目も２の目も１回も出ない」がダブルカウントされないように注意する必要があります。「１の目も２の目も１回も出ない」は「ｎ回とも３以上の目が出る」と言い換えられます。

このように言葉で考えていっても（１）であればなんとか処理できるのですが、上の画像の略解のように集合の記号を使って、機械的に求められるようになると（２）への応用が効きやすくなります。

（２）「少なくとも２回」かつ「少なくとも１回」の確率

 「少なくとも２回１の目が出る」の余事象は「１の目が出るのが１回以下」つまり「１の目が１回だけ出る」または「１の目が１回も出ない」です。さらに「少なくとも１回２の目が出る」の余事象は「２の目が１回も出ない」です。その上で１の目との「または」になるから、、、と言葉で考えていくとわけが分からなくなりますね。

そこで、上の画像のように集合の記号とベン図を使って、機械的に式変形していきます。
ただし、排反に分けるところは、現象をイメージして判断します。本問では「１の目が１回も出ない」事象と「１の目が１回だけ出る」事象は排反ですので、略解のように式変形ができます。

まとめ

いかがでしたでしょうか。画像の補足説明が言葉だけになってしまったので分かりにくいです。すみません。それだけ集合の記号やベン図がわかりやすいことの裏返しでもありますね。言葉で考えないと納得した感じがしない、ということもあるのですが、方程式と同様に機械的な処理の恩恵に預かるのも必要と思います。

絶対値が２箇所にある一次不等式の解き方

絶対値がなければとても簡単な一次不等式ですが、絶対値がつくと場合分けが必要になって難易度がぐんと跳ね上がりますね。今回は、絶対値付きの一次不等式について２つの解き方を紹介します。

目次

絶対値付きの一次不等式

【解１】は通常の場合分けによる解き方、【解２】はグラフを用いた視覚的な解き方です。不等式とグラフの関係については、中学校の１次関数を少し発展させただけなので理解しやすいと思います。
それぞれの解法について画像で説明しきれなかったポイントを補足します。

【解１】の補足ポイント

教科書や参考書によって解答の表現が異なっているため、解答の全体像が理解しにくい方もいらしゃるかもしれません。上の解答では番号を多めに振って、それらを「かつ」「または」で結ぶことにより全体像がわかりやすいようにしました。 

解答の流れ

• (ⅰ)のとき、①かつ②より③
• (ⅱ)のとき、④かつ⑤より⑥
• (ⅲ)のとき、⑦かつ⑧より⑨

(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)より、③または⑥または⑨の範囲が答え

【解２】の補足ポイント

問題文の不等式の両辺をそれぞれ「ｙがｘの一次関数である」と見てあげて、①と②のグラフを描きます。②のy=10は大丈夫ですね。①のグラフを描くのに時間がかかってしまう方は以下の手順で書いてみてください。

y=|x+2|+|2x-3|を書く手順

 まずxの一次式なのでこのグラフが折れ線になることは覚えておく。
線分CDを先に書いてしまい、そのあとで半直線CA、DBを付け足す。

線分CDの描き方

２箇所の絶対値の中身が０となるxを求める。
x=2,3/2となり、これが折れ曲がる点C、Dのx座標になるので、①に代入してy座標も求める。
点C、Dをプロットし線分CDを描く。

半直線CA、DBの描き方

半直線の傾きは絶対値を外したときのxの係数と一致する。
傾きはそれぞれ-3,3とわかるので点Cから左上方向、点Dから右上方向に半直線を引く。

①、②の交点は中学校の一次関数の解き方で求められますね。
①のグラフが②よりも下にあるようなxの範囲が答えになります。

まとめ

 いかがでしたでしょうか。【解２】のほうがスマートに見えますが、実際には半直線CA、DBの式を求める際に絶対値を外しているので、場合分けをしていることにはなります。まずは【解１】で場合分けの考え方を身につけてから、実際のテストなどで【解２】のグラフを用いて時短をはかるのが良いかと思います。